Радіус описаного окр дорівнює. Коло, описане навколо трикутника. Повні уроки – Гипермаркет знаний

Дуже часто при вирішенні геометричних задач доводиться здійснювати дії з допоміжними фігурами. Наприклад, знаходити радіус вписаного або описаного кола і т.д. Дана стаття покаже, як знаходити радіус кола, описаного навколо трикутника. Або, іншими словами, радіус кола, в яку вписаний трикутник.

Як знайти радіус кола, описаного навколо трикутника – загальна формула

Загальна формула виглядає наступним чином: R = abc / 4√p (p – a) (p – b) (p – c), де R – радіус описаного кола, p – периметр трикутника поділений на 2 (напівпериметр). a, b, c – сторони трикутника.

Знайти радіус описаного кола трикутника, якщо a = 3, b = 6, c = 7.

Таким чином, виходячи з вищенаведеної формули, обчислюємо напівпериметр:
p = (a + b + c) / 2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Підставляємо значення в формулу і отримуємо:
R = 3 × 6 × 7 / 4√8 (8 – 3) (8 – 6) (8 – 7) = 126 / 4√ (8 × 5 × 2 × 1) = 126 / 4√80 = 126/16 √5.

Відповідь: R = 126 / 16√5

Як знайти радіус кола, описаного навколо рівностороннього трикутника

Для знаходження радіусу кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, існує досить проста формула: R = a / √3, де a – величина його боку.

Приклад: Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 5. Знайти радіус описаного кола.

Так як у рівностороннього трикутника всі сторони рівні, для вирішення завдання потрібно всього лише вписати її значення в формулу. Отримаємо: R = 5 / √3.

Як знайти радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника

Формула виглядає наступним чином: R = 1/2 × √ (a² + b²) = c / 2, де a і b – катети і c – гіпотенуза. Якщо скласти квадрати катетів в прямокутному трикутнику, то отримаємо квадрат гіпотенузи. Як видно з формули, цей вислів знаходиться під коренем. Обчисливши корінь з квадрата гіпотенузи, ми отримаємо саму довжину. Множення отриманого виразу на 1/2 в результаті призводить нас до вираження 1/2 × c = c / 2.

Приклад: Обчислити радіус описаного кола, якщо катети трикутника дорівнюють 3 і 4. Підставимо значення в формулу. Отримаємо: R = 1/2 × √ (3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2.5.

В даному вираз 5 – довжина гіпотенузи.

Як знайти радіус кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника

Формула виглядає наступним чином: R = a² / √ (4a² – b²), де a – довжина стегна трикутника і b – довжина підстави.

Приклад: Обчислити радіус кола, якщо його стегно = 7, а підстава = 8.

Рішення: Підставляємо в формулу дані значення і отримуємо: R = 7² / √ (4 × 7² – 8²).

R = 49 / √ (196 – 64) = 49 / √132. Відповідь можна записати прямо так.

Онлайн ресурси для обчислення радіуса кола

Можна дуже легко заплутатися у всіх цих формулах. Тому при необхідності можна скористатися онлайн калькуляторами, які допоможуть вам у вирішенні завдань на знаходження радіуса. Принцип роботи таких міні-програм дуже простий. Підставляєте значення боку в відповідне поле і отримуєте готову відповідь. Можна вибрати кілька варіантів округлення відповіді: до десяткових, сотих, тисячних і т.д.

Тема «Вписані і описані окружності в трикутниках» є однією з найскладніших в курсі геометрії. На уроках їй приділяється дуже мало часу.

Геометричні завдання цієї теми включаються в другу частину екзаменаційної роботи ЄДІ за курс середньої школи. Для успішного виконання цих завдань необхідні тверді знання основних геометричних фактів і деякий досвід у вирішенні геометричних задач.
Для кожного трикутника існує тільки одна описана окружність. Це така окружність, на якій лежать усі три вершини трикутника з заданими параметрами. Знайти її радіус може знадобитися не тільки на уроці геометрії. З цим доводиться постійно стикатися проектувальникам, закрійника, слюсарям і представникам багатьох інших професій. Для того, щоб знайти її радіус, необхідно знати параметри трикутника і його властивості. Центр описаного кола знаходиться в точці перетину серединних перпендикулярів трикутника.
Пропоную вашій увазі всі формули знаходження радіуса описаного кола і не тільки трикутника. Формули для вписаного кола можна подивитися.

a, b. с – боку трикутника,

α – кут, що лежить проти сторони a,
S – площа трикутника ,

Тоді для знаходження радіуса (R ) Описаного кола використовують формули:

У свою чергу площа трикутника можна обчислити по одній з наступних формул:

А ось ще кілька формул.

1. Радіус описаного кола близько правильного трикутника. якщо a сторона трикутника, то

2. Радіус описаного кола близько рівнобедреного трикутника. нехай a, b – сторони трикутника, тоді

Трикутник називається вписаним, якщо всі його вершини лежать на окружності. У цьому випадку коло називається описаної навколо трикутника. Відстань від її центру до кожної вершини трикутника буде однаковим і рівним радіусу цього кола. Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, але тільки одну.

Центр описаного кола буде лежати в точці перетину серединних перпендикулярів, проведених до кожної зі сторін трикутника. Якщо окружність описана навколо прямокутного трикутника, то її центр буде лежати на середині гіпотенузи. Для будь-якого трикутника, навколо якого описана окружність діє формула площі трикутника через радіус описаного кола:

в якій a, b, c – сторони трикутника, а R – радіус описаного кола.

Приклад розрахунку площі трикутника через радіус описаного кола:
Нехай дано трикутник зі сторонами a = 5 см, b = 6 см, c = 4 см. Навколо нього описана окружність з R = 3 см. Знайдіть площу.
Маючи всі необхідні дані, просто підставляємо значення в формулу:

Площа трикутника буде дорівнює 10 кв. см

Досить часто за умовами можна зустріти цю площу описаного кола, яку необхідно використовувати для знаходження площі вписаного трикутника. Формула площі трикутника через площу описаного кола знаходиться після обчислення радіуса. Його можна обчислити декількома способами. Для початку розглянемо формулу площі кола:
Перетворивши цю формулу, ми отримаємо, що радіус:
Використовуючи цю формулу, ми отримуємо, що знаючи площу описаного кола, можна знайти площу трикутника наступним способом:

Знаючи всі три сторони заданого трикутника можна застосувати для знаходження площі. З неї ж можна знайти і радіус описаного кола. Тобто якщо в умовах дано всі сторони трикутника і потрібно шукати площі через радіус описаного кола, ми спочатку повинні обчислити його за формулою:

Тобто, знаючи довжини всіх сторін трикутника, ми можемо знайти площу трикутника через радіус описаного кола.

Приклад розрахунку площі трикутника через площу описаного кола:
Дан трикутник, навколо якого описана окружність з площею 8 кв. см. Сторони трикутника a = 4 см, b = 3 см, c = 5 см. Для початку знайдемо радіус кола через її площа:

Спробуємо знайти радіус за іншою формулою, яку ми вивели з способу знаходження

У сучасному машинобудуванні використовується маса елементів і запчастин, які мають у своїй структурі як зовнішні кола, так і внутрішні. Найяскравішим прикладом можуть служити корпус підшипника, деталі двигунів, вузли маточини і багато іншого. При їх виготовленні застосовуються не тільки високотехнологічні пристосування, а й знання з геометрії, зокрема інформація про кіл трикутника. Більш детально з подібним знаннями познайомимося нижче.

Яка окружність вписана, а яка описана

Перш за все згадаємо, що колом називається нескінченне безліч точок, віддалених на однаковій відстані від центру . Якщо всередині багатокутника допускається побудувати окружність, яка з кожною стороною матиме тільки одну спільну точку перетину, то вона буде називатися вписаною. Описаної окружністю (не Кола, це різні поняття) називається таке геометричне місце точок, при якому у побудованій фігури з заданим многоугольником загальними точками будуть тільки вершини багатокутника. Ознайомимося з цими двома поняттями на більш наочному прикладі (див. Рис 1.).

Малюнок 1.Вписана і описана окружності трикутника

На зображенні побудовано дві постаті великого і малого діаметрів, центри яких знаходяться G і I. Коло більшого значення називається описаної окр-ма Δ ABC, а малого – навпаки, вписаною в Δ ABC.

Для того щоб описати навколо трикутника окр-ть, потрібно провести через середину кожного боку перпендикулярну пряму (Тобто під кутом 90 °) – це точка перетину, вона грає ключову роль. Саме вона представлятиме собою центр описаного кола. Перед тим як знайти окружність, її центр в трикутнику, потрібно побудувати для кожного кута, після чого виділити точку перетину прямих. Вона в свою чергу буде центром вписаного окр-ти, а її радіус при будь-яких умовах буде перпендикулярний кожної зі сторін.

На питання: «Яка кількість кіл вписаних може бути для багатокутника з трьома?» відповімо відразу, що в будь-який трикутник можна вписати коло і до того ж тільки одну. Тому що існує тільки одна точка перетину всіх биссектрис і одна точка перетину перпендикулярів, що виходять з середин сторін.

Властивість окружності, якій належать вершини трикутника

Описана окружність, яка залежить від довжин сторін при підставі, має свої властивості. Зазначимо властивості описаного кола:

Для того щоб більш наочно зрозуміти принцип описаного кола, вирішимо просту задачу. Припустимо, що даний трикутник Δ ABC, сторони якого рівні 10, 15 і 8,5 см. Радіус описаного кола навколо трикутника (FB) становить 7,9 см. Знайти значення градусної міри кожного кута і через них площа трикутника.

Малюнок 2. Пошук радіусу кола через відношення сторін і синусів кутів

Рішення: спираючись на раніше зазначену теорему синусів, знайдемо значення синуса кожного кута окремо. За умовою відомо, що сторона АВ дорівнює 10 см. Обчислимо значення С:

Використовуючи значення таблиці Брадіса, дізнаємося, що градусна міра кута З дорівнює 39 °. Таким же методом знайдемо і інші заходи кутів:

Звідки дізнаємося, що CAB = 33 °, а ABC = 108 °. Тепер, знаючи значення синусів кожного з кутів і радіус, знайдемо площу, підставляючи знайдені значення:

Відповідь: площа трикутника дорівнює 40,31 см², а кути рівні відповідно 33 °, 108 ° і 39 °.

Важливо! Вирішуючи завдання подібного плану, буде незайвим завжди мати таблиці Брадіса або відповідну програму на смартфоні, так як вручну процес може затягнутися на тривалий час. Також для більшої економії часу не потрібно обов’язково будувати все три середини перпендикуляра або три бісектриси. Будь-яка третя з них завжди буде перетинатися в точці перетину перших двох. А для ортодоксального побудови зазвичай третю домальовують. Може, це неправильно в питанні алгоритму, але на ЄДІ або інших іспитах це здорово економить час.

Обчислення радіуса вписаного кола

Всі точки окружності однаково віддалені від її центру на однаковій відстані. Довжину цього відрізка (від і до) називають радіусом. Залежно від того, яку окр-ть ми маємо, розрізняють два види – внутрішній і зовнішній. Кожен з них обчислюється за власною формулою і має пряме відношення до обчислення таких параметрів, як:

• площа;
• градусна міра кожного кута;
• довжини сторін і периметр.

Малюнок 3. Розташування вписаного кола всередині трикутника

Обчислити довжину відстані від центру до точки дотику з будь-якої сторони можна такими способами: через боку, бічні сторони і кути (Для равнобокой трикутника).

Використання напівпериметр

Напівпериметр називається половина суми довжин всіх сторін. Такий спосіб вважається найпопулярнішим і універсальним, тому що незалежно від того, який тип трикутника дано за умовою, він підходить для всіх. Порядок обчислення має такий вигляд:

Якщо дано «правильний»

Одним з малих переваг «ідеального» трикутника є те, що вписана і описана окружності мають центр в одній точці . Це зручно при побудові фігур. Однак в 80% випадків відповідь виходить «негарним». Тут мається на увазі, що дуже рідко радіус вписаного окр-ти буде цілим, скоріше навпаки. Для спрощеного обчислення використовується формула радіуса вписаного кола в трикутник:

Якщо боковини однакової довжини

Одним з підтипів завдань на держ. іспитах буде знаходження радіуса вписаного кола трикутника, дві сторони якого рівні між собою, а третя немає. У такому випадку рекомендуємо використовувати цей алгоритм, який дасть відчутну економію часу на пошук діаметра вписаного окр-ти. Радіус вписаного кола в трикутник з рівними «бічними» обчислюється за формулою:

Більш наочне застосування зазначених формул продемонструємо на наступної задачі. Нехай маємо трикутник (Δ HJI), в який вписана окр-ть в точці K. Довжина сторони HJ = 16 см, JI = 9,5 см і сторона HI дорівнює 19 см (малюнок 4). Знайти радіус вписаного окр-ти, знаючи боку.

Малюнок 4. Пошук значення радіуса вписаного кола

Рішення: для знаходження радіуса вписаного окр-ти знайдемо напівпериметр:

Звідси, знаючи механізм обчислення, дізнаємося наступне значення. Для цього знадобляться довжини кожної зі сторін (дано за умовою), а також половину периметра, виходить:

Звідси випливає, що шуканий радіус дорівнює 3,63 см. Згідно з умовою, всі сторони рівні, тоді шуканий радіус буде дорівнює:

За умови, якщо багатокутник равнобокой (наприклад, i = h = 10 см, j = 8 см), діаметр внутрішньої окр-ти з центром в точці K буде дорівнює:

В умові задачі може даватися трикутник з кутом 90 °, в такому випадку запам’ятовувати формулу немає необхідності. Гіпотенуза трикутника буде дорівнює діаметру. Більш наочно це виглядає так:

Важливо! Якщо задана задача на пошук внутрішнього радіусу, не рекомендуємо проводити обчислення через значення синусів і косинусів кутів, табличне значення яких точно не відомо. У разі, якщо інакше дізнатися довжину неможливо, не намагайтеся «витягнути» значення з-під кореня. У 40% завдань отримане значення буде трансцендентним (тобто нескінченним), а комісія може не зарахувати відповідь (навіть якщо він буде правильним) через його неточності або неправильної форми подачі. Особливу увагу приділіть того, як може видозмінюватися формула радіуса описаного кола трикутника в залежності від запропонованих даних. Такі «заготовки» дозволяють заздалегідь «бачити» сценарій вирішення завдання і вибрати найбільш економне рішення.

Радіус внутрішнього кола і площа

Для того щоб обчислити площу трикутника, вписаного в коло, використовують лише радіус і довжини сторін багатокутника :

Якщо в умові завдання безпосередньо не дано значення радіусу, а тільки площа, то зазначена формула площі трансформується в наступну:

Розглянемо дію останньої формули на більш конкретному прикладі. Припустимо, що даний трикутник, в який вписана окр-ть. Площа окр-ти складає 4π, а сторони рівні відповідно 4, 5 і 6 см. Обчислимо площу заданого багатокутника за допомогою обчислення напівпериметр.

Використовуючи вищевказаний алгоритм, обчислимо площу трикутника через радіус вписаного кола:

В силу того, що в будь-який трикутник можна вписати коло, число варіацій знаходження площі значно збільшується. Тобто пошук площі трикутника, включає в себе обов’язкове знання довжини кожного боку, а також значення радіуса.

Трикутник, вписаний в окружність геометрія 7 клас

Прямокутні трикутники, вписані в коло

висновок

Із зазначених формул можна переконатися, що складність будь-якої задачі з використанням вписаною і описаного кіл полягає тільки в додаткових дії з пошуку необхідних значень. Завдання такого типу вимагають тільки досконально розуміння суті формул, а також раціональності їх застосування. З практики вирішення відзначимо, що в майбутньому центр описаного кола буде фігурувати і в подальших темах геометрії, тому запускати її не слід.В іншому випадку рішення може затягнутися з використанням зайвих ходів і логічних висновків.

Описана окружність. Візуальний гід (2019)

Перше питання, яке може виникнути: описана – навколо чого?

Ну, взагалі-то іноді буває і навколо чого завгодно, а ми будемо міркувати про кола, описаного навколо (іноді ще кажуть «близько») трикутника. Що ж це таке?

І ось, уяви собі, має місце дивовижний факт:

Чому цей факт дивовижний?

Але ж трикутники – то бувають різні!

І для будь-якого знайдеться окружність, яка пройде через все три вершини , Тобто описана окружність.

Доказ цього дивного факту можеш знайти в наступних рівнях теорії, а тут зауважимо тільки, що якщо взяти, наприклад, чотирикутник, то вже зовсім не для всякого знайдеться коло, що проходить через чотири вершини. Ось, скажімо, паралелограм – відмінний чотирикутник, а окружності, що проходить через всі його чотири вершини – немає!

А є тільки для прямокутника:

Ну ось, а трикутник всякий і завжди має власну описану окружність! І навіть завжди досить просто знайти центр цієї окружності.

Чи знаєш ти, що таке серединний перпендикуляр ?

А тепер подивимося, що вийде, якщо ми розглянемо цілих три серединних перпендикуляра до сторін трикутника.

Ось виявляється (і це як раз і потрібно доводити, хоча ми і не будемо), що всі три перпендикуляра перетнуться в одній точці. Дивись на малюнок – все три серединних перпендикуляра перетинаються в одній точці.

Як ти думаєш, чи завжди центр описаного кола лежить всередині трикутника? Уяви собі – зовсім не завжди!

А ось якщо гострокутий, то – всередині:

Що ж робити з прямокутним трикутником?

Та ще з додатковим бонусом:

Раз вже заговорили про радіус описаного кола: чому він дорівнює для довільного трикутника? І є відповідь на це питання: так звана.

1. Існування і центр описаного кола

Тут виникає питання: а для всякого чи трикутника існує така окружність? Ось виявляється, що так, для будь-якого. І більш того, ми зараз сформулюємо теорему, яка ще й відповідає на питання, де ж знаходиться центр описаного кола.

Давай наберемо мужності і доведемо цю теорему. Якщо ти читав вже тему «» розбирався в тому, чому ж три бісектриси перетинаються в одній точці, то тобі буде легше, але і якщо не читав – не переживай: зараз у всьому розберемося.

Доказ будемо проводити, використовуючи поняття геометричного місця точок (ГМТ).

Ну ось, наприклад, чи є безліч м’ячів – «геометричним місцем» круглих предметів? Ні, звичайно, тому що бувають круглі … кавуни. А чи є безліч людей, «геометричним місцем», які вміють говорити? Теж ні, бо є немовлята, які говорити не вміють. У житті взагалі складно знайти приклад справжнього «геометричного місця точок». В геометрії простіше. Ось, наприклад, як раз те, що нам потрібно:

Тут безліч – це серединний перпендикуляр, а властивість «» – це «бути рівновіддаленою (точкою) від кінців відрізка».

Перевіримо? Отже, потрібно впевнитися в двох речах:

1. Будь-яка точка, яка рівновіддалена від кінців відрізка – знаходиться на серединному перпендикуляре до йому.

З’єднаємо з і с.Тогда лінія є медіаною і висотою в. Значить, – рівнобедрений, – переконалися, що будь-яка точка, що лежить на серединному перпендикуляре, однаково віддалена від точок і.

Візьмемо – середину і з’єднаємо і. Вийшла медіана. Але – рівнобедрений за умовою не тільки медіана, а й висота, тобто – серединний перпендикуляр. Значить, точка – точно лежить на серединному перпендикуляре.

Усе! Повністю перевірили той факт, що серединний перпендикуляр до відрізка є геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців відрізка.

Це все добре, але чи не забули ми про описаного кола? Зовсім ні, ми як раз підготували собі «плацдарм для нападу».

Розглянемо трикутник.Проведемо два серединних перпендикуляра і, скажімо, до відрізків і. Вони перетнуться в якійсь точці, яку ми назвемо.

А тепер, увага!

Точка лежить на серединному перпендикуляре;
точка лежить на серединному перпендикуляре.
І значить, і.

Звідси випливає відразу кілька речей:

По – перше, точка має лежати на третьому серединному перпендикуляре, до відрізка.

Тобто серединний перпендикуляр теж зобов’язаний пройти через точку, і все три серединних перпендикуляра перетнулися в одній точці.

По – друге: якщо ми проведемо окружність з центром в точці і радіусом, то це коло також пройде і через точку, і через точку, тобто буде описаної окружністю. Значить, вже є, що перетин трьох серединних перпендикулярів – центр описаного кола для будь-якого трикутника.

І останнє: про єдиності. Ясно (майже), що точку можна отримати єдиним чином, тому і окружність – єдина. Ну, а «майже» – залишимо на твоє міркування. Ось і довели теорему. Можна кричати «Ура!».

А якщо в завданні стоїть питання «знайдіть радіус описаного кола»? Або навпаки, радіус дан, а потрібно знайти що – щось інше? Чи є формула, що зв’язує радіус описаної окружність з іншими елементами трикутника?

Зверни увагу: теорема синусів повідомляє, що для того щоб знайти радіус описаного кола, тобі потрібна одна сторона (будь-яка!) І протилежні їй кут. І все!

3. Центр окружності – всередині або зовні

А тепер питання: чи може центр описаного кола лежати зовні трикутника.
Відповідь: ще як може. Більш того, так завжди буває в тупоугольного трикутнику.

Описаного кола. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

1. Коло, описане навколо трикутника

Це коло, яка проходить через всі три вершини цього трикутника.

2. Існування і центр описаного кола

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що тільки 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, значить ти потрапив в ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією по цій темі. І, повторюся, це … це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього може не вистачити …

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, НАЙГОЛОВНІШЕ, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ …

Люди, які отримали гарну освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто його не отримав. Це статистика.

Але і це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю.

Що потрібно, щоб бути напевно краще за інших на ЄДІ і бути в кінцевому підсумку … щасливішим?

Набити руку, вирішуючи завдання ПО ЦІЙ ТЕМІ.

На іспиті у тебе не будуть питати теорію.

Тобі потрібно буде вирішувати завдання на час .

І, якщо ти не вирішував їх (БАГАТО!), Ти обов’язково десь нерозумно помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – треба багато разів повторити, щоб виграти напевно.

Знайди де хочеш збірник, обов’язково з рішеннями, докладним розбором і вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов’язково) і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань потрібно допомогти продовжити життя підручником YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованим завданням в цій статті – 299 руб.
2. Відкрий доступ до всіх прихованим завданням у всіх 99-ти статтях підручника – 499 руб.

Так, у нас в підручнику 99 таких статей і доступ для всіх завдань і всіх прихованих текстів в них можна відкрити відразу.

Доступ до всіх прихованим завданням надається на ВСЕ час існування сайту.

Якщо наші завдання тобі не подобаються, знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

“Зрозумів” і “Вмію вирішувати” – це абсолютно різні навички. Тобі потрібні обидва.